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#解题技巧
#代入排除法 ※
题型：多位数问题、余数问题、年龄问题、不定方程、不会做的
多位数问题
将一个三位数的个位数字和百位数字调换后所得的三位数与原三位数的和是1070，差是198，这个三位数是：
A．218 B．327 C．436 D．524
解：436代入得634+436=1070，634-436=198
余数问题
一批武警战士平均分成若干小组值勤。如果每 4 人一组，恰好余 1 人；如果每 5 人一组，恰好也余 1 人；如果每 6 人一组，恰好还是余 1 人。这批武警战士至少有（ ）人。
A．121 B．101 C．81 D．61
解：精准空降到 43:15，至少，优先带入最少的值即61，符合秒D
#数字特性
#奇偶性
- 奇/偶 ± 奇/偶 = 偶
- 奇 ± 偶 = 奇
- 奇 × 奇 = 奇
- 偶 × any = 偶
使用场景：知差求和、知和求差；二倍类、平均分；不定方程
题目：
某次测验有 50 道判断题，每做对一题得 3 分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？（ ）
A.33 B.39 C.17 D.16
练1，$x+y=50,x-y=?$ ，因为奇/偶 ± 奇/偶 = 偶，所以x-y必为偶，即对于相同的数相加为偶数，则相减也为偶数。选D
母亲现在的年龄个位数跟十位数对调再减 10 岁就是儿子的年龄， 再过 3 年母亲的年龄就是儿子年龄的 2 倍，则母亲现在的年龄是（）。
A.53 B.52 C.43 D.42
例2，$x+3=oven$ ，则$x$必为奇，排除BD，代入A，符合题意。
#整除判定
- 2，4，8 整除及其余数判定法则
- 一个数能被 2(或 5)整除，当且仅当末一位数字能被 2(或者 5)整除；
- 一个数能被 4(或者 25)整除，当且仅当末两位数字能被 4(或者 25)整除；
- 一个数能被 8(或者 125)整除，当且仅当末三位数字能被 8(或者 125)整除；
- 3，9 整除判定基本法则
- 一个数字能被 3 整除，当且仅当其各位数字之和能被 3 整除；
- 一个数字能被 9 整除，当且仅当其各位数字之和能被 9 整除；
- 使用场景：题目出现 2、4、8、3、9 等的倍数。 题目出现倍数、分数、百分数、比例、分组（7男5女一组：7：5）等字眼。 题目中出现“各个数位之和”
题目：
一个四位数“□□□□”分别能被 15、12 和 10 除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为 1365，问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少？
A．17 B．16 C．15 D．14
例4，设值可以考虑公倍数，15，12，10的公倍数为60，设四位数为$60x$，则$4x+5x+6x=1365$，解得C。或者根据15是3的倍数，则四位数是3的倍数，根据整除判断法则，四位数之和也为3的倍数，C。
#倍数关系
- 若 a：b = m：n，或 $\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$ 或者 $𝑎 = \tfrac{m}{n}b$（m、n 互质，m：n 不能继续约分）。
- 则 a 是 m 的倍数；b 是 n 的倍数；a + b 是 m + n 的倍数；a – b 是 m – n 的倍数
- 例：男是女生的9/4倍 $\Leftrightarrow$ 男：女 = 9：4 $\Leftrightarrow$ a：b=9：4 $\Leftrightarrow$ 男是9的倍数，女是4的倍数 $\Leftrightarrow$ 总人数是9+4的倍数，男女之差是9-4的倍数
使用场景：倍数、百分数、比例、分组（7男5女一组：7：5）
题目：
甲乙两队举行智力抢答赛，两队平均得分为 92 分，其中甲队平均得分 88 分，乙队平均得分为 94 分，则甲、乙两队人数之和可能是（ ）。
A.20 B.21 C.23 D.25
例14(十字交叉，两队平均)，常规解法：$88x+94y=92x+92y \rightarrow x=2y$ 即$x+y$为3的倍数，B。十字交叉：$\begin{matrix} &88&+4 &N\ 92& & \ &94&-2&2N \end{matrix}$，总和为$3N$
两个派出所某月内共受理案件 160 起，其中甲派出所受理的案件中17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？
A.48 B.60 C.72 D.96
练4（不可约分得总数），因为$0.17=\frac{17}{100}$，而17是奇数，所以不可约分，得甲总案件数为100，则乙总案件数为60，$60\times0.8=48$
某汽车厂商生产甲、乙、丙三种车型,其中乙型产量的 3 倍与丙型产量的 6 倍之和等于甲型产量的 4 倍，甲型产量与乙型产量的2倍之和等于丙型产量的 7 倍。则甲、乙、丙三型产量之比为( )?
A.5:4:3 B.4:3:2 C.4:2:1 D.3:2:1
二倍之和$\ne$之和二倍，$4a=3b+6c,a+2b=7c\ne2(a+b)=7c$，根据前式，$3b+6c$必为3得倍数，所以a为3得倍数，秒D
#方程法
设未知数的原则：
- 在同等情况下，优先设所求的量
- 设中间变量、份数(有分数、百分数、比例倍数特征)
- 优先设小不设大
题型：和差倍比问题、鸡兔同笼、盈亏问题、工程问题、经济利润问题、 行程问题等等。
题目：
公司销售部门共有甲、乙、丙、丁四个销售小组，本年度甲组销售金额是该部门销售金额总数的 1/3，乙组销售金额是另外三个小组总额的 1/4，丙组销售金额比丁组销售金额多 200 万元，比甲组少 200 万元。问销售部门销售总金额是多少万元？（ ）
A.1800 B.2400 C.3000 D.3600
例5，乙是另外三组的1/4倍，则乙/总=1/5，甲是总的1/3倍，所以设总数为$15x$，则甲$5x$，乙$3x$，设丙c丁d，则$(5x-200)_c+(5x-400)_d=7x\Rightarrow x=200$
有甲、乙两瓶盐水，其浓度分别为 16%和 25%；质量分别为 600 克和 240 克，若向这两瓶溶液中加入等量的水，使他们的浓度相同，则需要向这两瓶盐水中分别加入的水量为（）。
A.320 克 B. 360 克 C. 370 克 D. 377 克
练5，两个分数相等的快速解法，$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}$ 约掉x，即$\frac{96}{600+x}=\frac{60}{240+x}\Rightarrow \frac{96-60}{600-240}=\frac{1}{10}\Rightarrow \frac{96}{600+360}\Rightarrow 360g$，常规解法就是十字相乘求方程。
#基础篇
#不定方程
限制性不定方程解析顺序：
- 尾数法
- 3x+5y=41：（10=5，10，15，20，...）y必为0，5结尾，x则需要令0+3x=1；5+3x=1
- 因子倍数
- 29x+24y=900：y是12的倍数，先找最大的倍数（3，4，5，...，12），则x是12的倍数
- 11a+7b=121：7b=11(11-a)$\rightarrow$ b=11,a=4
- 奇偶特性
- 3x+4y=20：x必须偶数（看左边有无必为偶数，即乘偶数必为偶数）
- 代入排除
题型：
- 限制性不定方程（组），未知数必须是正整数，例如未知数是人、桌子、 盒子、笔等。
- 非限制性不定方程（组），未知数不限制必须是整数，例如钱、时间， 重量等，此类题型出题巧妙，技巧性强。
题目：
小刚买了 3 支钢笔、一个笔记本、2 瓶墨水，花去 35 元钱，小强 在同一家店买同样的 5 支钢笔，1 个笔记本，3 瓶墨水花去 52 元钱，则买 1 支钢笔、1 个笔记本、1 瓶墨水共需（）元。
A．9 B．12 C．15 D．18
例6，遇到无穷解给难约分的赋0，一般x+y+z的形式 or 约分方程得到特定形式（难题会难想）$3x+y+2z=35;5x+y+3z=52$，$x$比较难约分，设0，解得$x+y+z=18$
#工程问题 ※
公式：工作总量w＝效率e×时间t
解题方法：画表格
给定时间型：①赋值总量为时间的公倍数②求出各自的效率③分析求解
一项工程，甲单独30天完成，乙单独45天完成，两人合作几天完成。
| w | e | t |
|---|---|---|
| 90 | 得出3 | 30 |
| 90 | 得出2 | 45 |
| 得到 | 3+2 | 90/5=18 |
效率制约型：①赋值效率②直接赋值各自效率比值③分析求解
题型：
- 效率比
- 提高20%，则1：1.2=5：6
- 42台机器，则1：1：1：...
- 某一部分工程，甲3天，乙5天，则甲：乙=5：3
一项工程，甲和乙的效率比为2：3，合作8天完成，甲单独几天完成？
| w | e | t |
|---|---|---|
| 5*8=40 | 2 | 8 |
| 3 |
题目：
两根同样长的木炭，燃烧完一根粗的木炭需要 2 小时，燃烧完一根细的木炭需要 1 小时。现同时点燃这两根木炭，若干分钟后将两根木炭同时熄灭，发现粗木炭的剩余长度是细木炭的剩余长度的 2 倍，则燃烧了（）分钟。
A. 35 B. 40 C. 45 D. 50
例4，时间效率型，表格就不列了，方程为$2-x=2(2-2x)\Rightarrow x=\frac{2}{3}h$
A 工程队的效率是 B 工程队的 2 倍，某工程交给两队共同完成需要 6 天。如果两队的工作效率均提高一倍，且 B 队中途休息了 1 天，问要保证工程按原来的时间完成，A 队中途最多可以休息几天？
A．4 B．3 C．2 D．1
例6，按原来的时间完成，即6天，只需要计算B在6天内能干的工作量，让A干剩下的工作量即可。B翻一倍并且休息一天，干了$5\times2=10$，A翻一倍需要干$(18-10)/4=2$天，可以休息4天。
某件刺绣产品，需要效率相当的三名绣工 8 天才能完成；绣品完成 50%时，一人有事提前离开，绣品由剩下的两人继续完成；绣品完成 75%时，又有一人离开，绣品由最后剩下的那个人做完。那么，完成该件绣品一共用了（） 天。
A．10 天 B．11 天 C．12 天 D．13 天
例7，1：1：1型。总共$3\times8=24$件，即$12/3+6/2+6/1=13$
某商铺甲乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。 甲组单独制作需要 10 小时，乙组单独制作需要 15 小时，现两组一起做，期间乙组休息了 1 小时 40 分，完成时甲组比乙组多做 300 朵。问这批花有多少朵？
A.600 B.900 C.1350 D.1500
练5，同例6。$3x+2x-\frac{10}{3}=30 \Rightarrow x=\frac{20}{3} \Rightarrow$甲完成20，乙完成10，则$20:10=x:x-300$即甲600，乙300，总共900
| w | e | t |
|---|---|---|
| 30 | 30/10=3 | 10 |
| 30/15=2 | 15 | |
| 3 | x | |
| 2 | x-(5/3)h | |
| 5. A、B、C 三支施工队在王庄和李庄修路，王庄要修路 900 米。李庄要修路 1250 米。已知 A、B、C 队每天分别能修 24 米、30 米、32 米，A、C 队分别在王庄和李庄修路，B 队先在王庄，施工若干天后转到李庄，两地工程同时开始同时结束。问 B 队在王庄工作了几天？ |
A.9 B.10 C.11 D.12
练7，同时开工同时结束，三队一直干到结束。$(24+30+32)t=900+1250 \Rightarrow t=25days$ 王庄修了$25\times24=600\Rightarrow remain=900-600 \Rightarrow B_{work} = \frac{300}{30}=10$ 6. 工厂有 5 条效率不同的生产线。某个生产项目如果任选 3 条生产线一起加工，最快需要 6 天整，最慢需要 12 天整；5 条生产线一起加工，则需要 5 天整。问如果所有生产线的产能都扩大一倍，任选 2 条生产线一起加工，最多需要多少天完成？
A.11 B.13 C.15 D.30
练8，效率不同，直接设a>b>c>d>e，题目求最多，选最慢的两条de
| w | e | t | |
|---|---|---|---|
| abc | 60 | 60/6=10 | 6 |
| cde | 60 | 60/12=5 | 12 |
| abcde | 60 | 60/5=12 | 5 |
| de | 12-10=2 | ||
| 2de | 60 | 4 | 60/4=15 |
某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9 小时可以完成一项生产任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前 1 小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前 1 小时完成任务。 如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多少时间完成？
A.1.4 B.1.8 C.2.2 D.2.6
练9，题目没看懂，交换了效率+1，都交换效率+2。$9,8,8 \Rightarrow w=72 \Rightarrow 72/(8+2)=7.2$
#行程问题
公式：S=v×t，vt反比，Svt正比
- 等距离求平均速度：$\bar{v} =\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$
- 流水行船问题
- 顺流速度＝静水船速+水速 => S=(船速+水速) × 时间
- 逆流速度＝静水船速-水速 => S=(船速-水速) × 时间
- 相遇追及问题
- 相遇距离=(大速度+小速度) × 相遇时间
- 追及距离=(大速度-小速度) × 追及时间
- 类似顺水逆水
- 环形跑道问题
- 环线型 n 次相遇，总(共同行走的)距离=n × 环线长度
- 环线型 n 次追及，追及的距离=n × 环线长度。
- 两端相遇问题
- 直线型两端出发 n 次相遇，总(共同行走的)距离=(2n-1) × 两地初始距离
解题方法：画图
题目：
一次长跑比赛在周长为 400 米的环形跑道上进行。比赛中，最后一 名在距离第 3 圈终点 150 米处被第 1 名完成超圈（即比他多跑 1 圈），50 秒后， 他又在距离第 3 圈终点 45 米处被第 2 名完成超圈。假定所有选手均是匀速，那 么第 2 名速度约为：
A．2.83m/s B．2.9m/s C．2.82m/s D．2.1m/s
练7，题目可知最慢的速度，时间相同下，速度之比=路程之比。$v_{slow}=\frac{150-45}{50}=2.1m/s \Rightarrow dist_{slow}=300\times4-45=1155m \Rightarrow dist_{sec}=1155+400=1555m$ 可知$\frac{v_{sec}}{v_{slow}}=\frac{1555}{1155} \Rightarrow v_{sec}=2.827m/s$
甲乙丙分别骑摩托车、乘大巴、打的从 A 地去 B 地，甲的出发时间 分别比乙丙早 15 分钟、20 分钟，到达时间比乙丙都晚 5 分钟。已知甲乙的速度 之比是 2：3，丙的速度是 60 千米/小时，则 AB 两地间的距离是：
A．75 千米 B．60 千米 C．48 千米 D．35 千米
练8，图要画对，路程相同，速度时间反比。$\frac{t_a}{t_b}=\frac{3}{2}=\frac{x+25}{x+5} \Rightarrow x=35min \Rightarrow 35\times speed_c = 35km$
#排列组合 ※
排列组合，概率论的基础
- 分类用加法，分步用乘法
- 排列有顺序，组合无顺序
- $A^m_n = n(n − 1)(n − 2) … (n − m + 1)$
- $C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{m!}=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-m+1)}{m \times(m-1) \times(m-2) \ldots \times 2 \times 1}$
- 捆绑法：相邻问题，将相邻的元素捆绑成一个元素
- 插空法：不相邻问题，先对其他元素排列，然后将不相邻的元素插入空中
- 插板法：N 个相同物品分给 M 个人，每人至少分得一个，N 个物品中间有（N-1）个间隔，在间隔中插入（M-1）个板，共有$C^{M-1}_{N-1}$种情况。
- 错位排列：有 N 封信和 N 个信封，每封信都不装在自己对应的信封里，可能的方案数记作 Dn，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，记住这五个即可。
题目：
某单位组织职工参加周末培训，其中英语培训和财务培训均在周六， 公文写作培训和法律培训均在周日。同一天举办的两场培训每人只能报名参加一场，但不在同一天的培训可以都参加。则职工小刘有多少种不同的报名方式？
A．4 B．8 C．9 D．16
例3，分类讨论，只报一场和两场。只报一场：$C^1_4$，报两场：$C^1_2\times C_2^1$
单位订阅了 30 份学习材料发放给 3 个部门，每个部门至少发放 9 份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）
A．12 B．10 C．9 D．7
练6，先分至只剩一份：$30-3\times8=6$，插板法：$C_5^2=10$
从 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中选取 2 个数，让他们的和是质数，则共有多少种选法？
A.19 B.18 C.17 D.16 E.15 F.14 G.13 H.12
例12，穷举法，先列出所有质数，再按质数顺序依次选2个数求和拼凑出质数。选F
#概率问题
- 基本概率
- 某种情况发生的概率＝满足条件的情况数÷总的情况数。
- P＝ 满足条件的情况数/总的情况数
- 分步乘法型 分步概率 = 满足条件的每个步骤概率之积
- 分类加法型 总体概率 ＝ 满足条件的各种情况概率之和
- 逆向计算型 某事件的概率 = 1－该事件不发生的概率
题目：
某单位工会组织桥牌比赛，共有 8 人报名，随机组成 4 队，每队 2 人。那么，小王和小李恰好被分在同一队的概率是（ ）。
A．1/7 B．1/14 C．1/21 D．1/28
例4，先确定一个。$P=\frac{8}{8}\times\frac{1}{7}$，小王：总情况数8个位子，满足情况数8位子都满足，小李：总情况数7，满足情况数1（一队有2个人，且必须分在同一队）
某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有 80% 的概率赢乙选手，那么这场单打比赛甲有多大的概率战胜乙选手？
A. 0.768 B. 0.800 C. 0.896 D. 0.92420
例5，分类加法型。战胜的情况必须甲赢两场：1. 前两局就获胜：$0.8\times0.8$；2. 中间落败：$0.8\times0.2\times0.8$；3. 后两局获胜：$0.2\times0.8\times0.8$。即$0.64(1+0.2+0.2)=xx6$选C
某商场搞抽奖促销，限每人只能参与一次，活动规则是：一个纸箱里装有 5 个大小相同的乒乓球，其中 3 个是白色 2 个是红色，参与者从中任意抽出 2 个球，如果两个都是白色可得抵用券100 元，一白一红可得抵用券 200 元， 两个都是红色可得抵用券 400 元。若小李和小林两人分别参加抽奖，那么两人获得抵用券之和不少于 600 元的概率是多少？
A．0.12 B．0.22 C．0.13 D．0.30
例6,求概率+分类求和。$P_{100}=\frac{C^2_3}{C^2_5}=0.3, P_{400}=\frac{C^1_3C^1_2}{C^2_5}=0.6, P_{600}=1-0.3-0.6=0.1$。不少于600的情况有三种：1. 200 400：$0.1\times0.6\times2$；3. 400 400：$0.1\times0.1$ 。即$0.12+0.01=0.13$
在小李等车期间，有豪华型、舒适型、标准型三种旅游车随机开过。 小李不知道豪华型的标准，只能通过前后两辆车进行对比。为此，小李采取的策略是：不乘坐第一辆，如果发现第二辆比第一辆更豪华就乘坐；如果不是，就乘坐最后一辆。那么，他能乘坐豪华型旅游车的概率是：
A．1/2 B．1/3 C．1/4 D．1/5
练2，看不懂数据少枚举。设标1舒2豪华3，则123、132、213、231、312、321，其中132、231、213符合，A
掷两个骰子，掷出的点数之和为奇数的概率为 P1，掷出的点数之和为偶数的概率为 P2，问 P1 和 P2 的大小关系？
A．P1=P2 B．P1>P2 C．P1<P2 D．无法确定
练3，和为奇的情况：奇（骰到135）+偶（骰到246）和偶+奇：$P_{odd}=\frac{3\times3+3\times3}{6\times6}=\frac{1}{2}$，非奇即偶，A
#经济利润 ※
- 利润折扣问题：
- 总成本=单个成本×进口量；总售价＝单价×销售量；
- 利润＝售价-成本；总利润＝总售价-总成本
- 利润率 = 利润/成本 = (售价 − 成本)/成本 = 售价/成本 − 1
- 毛利 = 利润/营收
- 列表法：成本 定价 售价 利润*量=总利 （售价=不打折的定价）
- 分段计费问题
- 分段计费问题主要涉及水电、资费、提成等通常分段计费问题。
- 解题关键在于找到分段节点，分区间讨论计算。
- 画数轴
题目：
商场里某商品成本上涨了 20%，售价只上涨了 10%，毛利率（利润/进货价）比以前的下降了 10 个百分点。问原来的毛利率是多少？
A.10% B.20% C.30% D.40%
例7，比例关系直接赋值，出现成本、售价、利润，优先只赋值成本。$\frac{x-10}{10}-\frac{1}{10}=\frac{1.1x-12}{12} \Rightarrow x=12 \Rightarrow \frac{12-10}{10}=0.2$
| 成本 | 售价 | 利润 | 毛利润 | |
|---|---|---|---|---|
| 前 | 10 | x | x-10 | $\frac{x-10}{10}$ |
| 后 | 10*1.2=12 | 1.1x | 1.1x-12 | $\frac{1.1x-12}{12}$ |
企业花费 600 万元升级生产线，升级后能耗费用降低了 10%，人工成本降低了 30%，如每天的产量不变，预计在 400 个工作日后收回成本，如果升级前人工成本为能耗费用的 3 倍，问升级后每天的人工成本比能耗费用高多少万元？
A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2.4
练1，回收成本=天数*节省费用，分为前后。$400(0.9x+0.1x)=600 \Rightarrow x=1.5 \Rightarrow 1.2x=1.2\times1.5=1.8$
| 人工 | 能耗 | |
|---|---|---|
| 前 | 3x | x |
| 后 | 2.1x | 0.9x |
| 省 | 0.9x | 0.1x |
某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以 4 元出售，可卖出 20 万 株。若苗木单价每提高 0.4 元，就会少卖 10000 株，问在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元？
A．60 B．80 C．90 D．100
练6，a+b=10 ab≤25，最大问题。总收=$(4+0.4n)(20-n)=0.4(10+n)(20-n)$，而$a_{10+n}+b_{20-n}=30, ab=15^2 \Rightarrow 0.4\times15^2=90$
某公司 A 商品利润为定价的 30%，前年销量为 10 万个；B 商品利润为定价的 40%，前年销量为 4 万个。去年公司将 A、B 商品捆绑销售，售价为前年两种商品定价之和的 90%，共卖出 8 万套，总利润比前年增加了 20%。如两种商品去年的成本与前年相同，则前年 A 商品的定价为 B 商品定价的：
A．24% B．25% C．30% D．36%
练7，定价不打折就是售价，利润=成本-定价，列表法选A。$1.6a+2.4b=1.2(3a+1.6b) \Rightarrow a=0.24b$
| 成本 | 定价 | 利润 | 量 | 总利 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 前 | 0.7a | a | 0.3a | 10 | 3a |
| 前 | 0.6b | b | 0.4b | 4 | 1.6b |
| 前 | 0.7a | 0.9a | 0.2a | 8 | 1.6a |
| 前 | 0.6b | 0.9b | 0.3b | 8 | 2.4b |
#最值问题
- 最不利构造
- 题型特征：至少……才能保证……
- 解题方法：最不利情形＋1
- 数列构造
- 题型特征：
- 最多……最少……
- 最少……最多……
- 排名第……最多（少）………
- 解题方法：
- 排序，所有元素进行排序；
- 定位，求谁设谁 x；
- 构造，根据题意构造其他元素的值；
- 求和，所有元素求和，解 x。
- 如果求得 x 为小数，问最少：向上取整，问最多：向下取整。反向取数
- 最少的取最大，即比次小的-1，最大的取最小，即比次大的+1，已知的具体量值不改变
- 题型特征：
- 多集合反向构造
- 题型特征：多集合题目中，问题中出现，至少……都……的情况下；
- 解析策略：采用逆向思考，反向，求和，做差。
- 各集合的对立面的数量
- 各集合反向数量相加 sum
- 总数量-sum
题目：
某单位 2011 年招聘了 65 名毕业生，拟分配到该单位的 7 个不同部门。假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？
A．10 B．11 C．12 D．13
例5，其他部门都多，所以设第一名为$x$，其他部门为$6(x-1)$，即$7x-6=65 \Rightarrow x=10.143$，至少选向上取整选B
有编号为 1～13 的卡片，每个编号有 4 张，共 52 张卡片。问至少摸出多少张，就可保证一定有 3 张卡片编号相连？（ ）
A．27 张 B．29 张 C．33 张 D．37 张
练4，magic。12x45x78x1011x13，即摸连续两个编号后下一个没摸到才又连续两个直到13，共9个编号。$9\times4+1=37$
在一次竞标中，评标小组对参加竞标的公司进行评分，满分 120 分。 按得分排名，前 5 名的平均分为 115 分，且得分是互不相同的整数，则第三名得分至少是（ ）
A.112 分 B.113 分 C.115 分 D.116 分
练5,最大的让他最大，最小的让他最小。一二名：120，119；第三名x；四五名x-1，x-2，即$3x+236=115\times5 \Rightarrow x=113$
#容斥原理
- 两集合标准型公式
- |𝐴| + |𝐵| − |𝐴𝐵| = 总数 − 都不满足
- 三集合标准
- |𝐴| + |𝐵| + |𝐶| − |𝐴𝐵| − |𝐵𝐶| − |𝐴𝐶| + |𝐴𝐵𝐶| = 总数 − 都不满足
- 三集合非标准
- |𝐴| + |𝐵| + |𝐶| − 只满足两个条件的 − 2 × 满足三个条件 = 总数 − 都不满足
- 使用场景：只有当题目中出现“（只）满足两个条件”时，使用非标准公式。
- 文氏图法：每一个封闭区域内只有一个数字，并且代表该区域的面积。
- 使用原则：出现“只满足某一个条件”时，优先画图法。
- 不能直接代入公式的，使用画图法。
题目：
有 135 人参加某单位的招聘，31 人有英语证书和普通话证书，37 人有英语证书和计算机证书，16 人有普通话证书和计算机证书，其中一部分人有三种证书，而一部分人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有资格参加面试。问至少有多少人不能参加面试？
A．50 B．51 C．52 D．53
练4，反推。题目反推即能参加的最多。文氏图，设三种都有的为x，能=$31+37+16-2x=84-2x$，因为有一部分人有三种证书，则必须x=1保证才能保存能参加的最多。$135-82=53$
#几何问题
$\mathrm{n}$ 边形的内角和与外角和 内角和 $=(n-2) \times 180^{\circ}$ , 外角和恒等于 $360^{\circ}$
- 常用周长公式
- 正方形周长 $C_{\text {正方形 }}=4 a$ ; 长方形周长 $C_{\text {长方形 }}=2(a+b)$ ; 圆形周长 $C_{\text {圆 }}=2 \pi R$
- 常用面积公式
- 正方形面积 $S_{\text {正方形 }}=a^{2}$ ; 长方形面积 $S_{\text {长方形 }}=a b$ ; 圆形面积 $S_{\text {圆 }}=\pi R^{2}$
- 三角形面积 $S_{\text {三角形 }}=\frac{1}{2} a h$ ; 同底等高面积相等！
- 平行四边形面积 $S_{\text {平行四边形 }}=a h$ ;
- 梯形面积 $S_{\text {梯形 }}=\frac{1}{2}(a+b) h$ ; 扇形面积 $S_{\text {扇形 }}=\frac{n}{360^{°}} \pi R^{2}$
- 常用表面积公式
- 正方体的表面积 $=6 a^{2}$ ; 长方体的表面积 $=2 \mathrm{ab}+2 \mathrm{bc}+2 \mathrm{ac}$ ;
- 圆柱的表面积 $=2 \pi \mathrm{Rh}+2 \pi R^{2}$ , 侧面积 $=2 \pi \mathrm{Rh}$ ; 球的表面积 $=4 \pi R^{2}$
- 常用体积公式
- 正方体的体积 $=a^{3}$ ; 长方体的体积 $=\mathrm{abc}$ ; 球的体积 $=\frac{4}{3} \pi R^{3}$
- 圆柱的体积 $=\pi R^{2} h$ ; 圆雉 (棱雉) 的体积 $=\frac{1}{3} \times S_{底} \times h$
- 勾股定理
- 3：4：5
- 5：12：13
- 角度及三角形
- 直角三角形30°：$1:\sqrt{3}:2$
- 等腰直角三角形：$1:1:\sqrt{2}$
- 等边三角形：$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
- 相似三角形
- 面积之比=边长之比的平方
- 等比缩放
- 一个几何图形，若边长变为原来的 n 倍，则:
- 所有对应角度不发生变化
- 所有对应的面积变为原来 $\mathrm{n}^{2}$ 倍
- 所有对应的体积变为原来 $\mathrm{n}^{3}$ 倍
题目：
如图所示，8 块同样大小的长方形钢板拼成了一块大的长方形钢板， 已知大长方形钢板周长为 112 厘米，那么大长方形钢板的面积是( )平方厘米。
A．432 B．588 C．768 D．945
例2，注意子图形的关系。2长=3宽
某地市区有一个长方形广场，其面积为 1600 平方米。由此可知，这个广场的周长至少有（ ）。
A．160 米 B．200 米 C．240 米 D．320 米
例3，长度一定、面积大->圆，次大正n边形，次次大正方形即$40\times40=1600$，或$a+b \ge 2\sqrt{ab}$,选A
太多了，都不会
#年龄问题
方法一：代入排除法
方法二：方程法
核心点：每年每人长一岁，两个人的年龄差不变
$\text { 浓度 }=\frac{\text { 溶质 }}{\text { 溶液 }}=\frac{\text { 盐 }}{\text { 盐水总重量 }}=\frac{\text { 糖 }}{\text { 糖水总重量 }}=\frac{\text { 酒精 }}{\text { 酒水总重量 }}$
溶质 = 溶液×浓度
题目：
2014 年父亲、母亲的年龄之和是年龄之差的 23 倍，年龄之差是儿子年龄的 1/5，5 年后母亲和儿子的年龄都是平方数。问 2014 年父亲的年龄是多 少？（年龄都按整数计算）
A．36 岁 B．40 岁 C．44 岁 D．48 岁
练1，设儿子为5x，则$5x+5=36$，
1、4、9、16、25。儿子=20岁。则$fa+ma=23\times4;fa-ma=4 \Rightarrow fa=48;ma=44$.有甲、乙两种不同浓度的盐水，取 3 克甲盐水和 1 克乙盐水混合可以得到浓度为𝑥%的盐水；用 1 克甲盐水和 3 克乙盐水混合可以得到丙盐水。问用多少克甲盐水和 1 克丙盐水混合可以得到浓度为𝑥%的盐水？
A．2 B．4 C．6 D．8
练2，按比例调配可得x，则x盐水=3甲+1乙=a甲+丙(1/4甲+3/4乙)中甲乙比例可得x。1g丙含0.25甲0.75g乙，即甲乙比值为$\frac{3}{1}=\frac{a+0.25}{0.75} \Rightarrow a=2$能得到浓度为x的盐水
#提高篇
#牛吃草
（例）一片草地（草以均匀的速度生长），240 头牛可以吃 6 天，200 头牛可 以吃 10 天，则这片草原可供 190 头牛吃的天数是（ ）。
- 第一步，假设每头牛每天吃 1 份草。
- 第二步，假设草场原有 y 份草，每天自然生长 x 份草。
- 第三步
- 代入第一个条件“240 头牛可以吃 6 天”，草场每天减少（240-x）份，y÷(240-x)=6；
- 代入第二个条件“200 头牛可以吃 10 天”，草场每天减少（200-x）份草，y÷(200-x)=10。
- 第四步，解方程 y=600，x=140，即原草场有 600 份草，每天长 140 份草。
- 第五步，分析计算，190 头牛每天吃 190 份草，每天长 140 份，于是草场每 天实际减少 50 份草，600÷50=12 天。
题目：
某轮船发生漏水事故，漏洞处不断地匀速进水，船员发现险情后立即开启抽水机向外抽水。已知每台抽水机每分钟抽水 20 立方米，若同时使用 2 台抽水机 15 分钟能把水抽完，若同时使用 3 台抽水机 9 分钟能把水抽完。当抽水机开始向外抽水时，该轮船已进水（ ）立方米。
A．360 B．450 C．540 D．600
例4，设进水量为y，速率为x，则$(40-x)15=y;(60-x)9=y \Rightarrow x=10;y=450$即B
#循环周期问题
核心点：若一串事物以 T 为周期，且 A÷T=N 余 a，那么第 A 项等同于第 a 项。整除是周期最后一项。
题目：
某政府机构内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔 2 天、乙部门每隔 3 天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？
A．5 B．2 C．6 D．3
例2，每隔两天=每三天，每四天，则它们的公倍数为12，最多则从1号开始1、13、25。D
某新建小区计划在小区主干道两侧种植银杏树和梧桐树绿化环境，一侧每隔 3 棵银杏树种 1 棵梧桐树，另一侧每隔 4 棵梧桐树种 1 棵银杏树，最终两侧各种植了 35 棵树，问最多栽种了多少棵银杏树？
A、33 B、34 C、36 D、37
例3，最多，则先种银杏树。一侧共$\frac{35}{4}=8\cdots3=8\times3+3=27$，另一侧共$\frac{35}{5}=7=7\times1=7$，即B
为维护办公环境，某办公室四人在工作日每天轮流打扫卫生，每周一打扫卫生的人给植物浇水。7 月 5 日周五轮到小玲打扫卫生，下一次小玲给植物浇水是哪天？
A、7 月 15 日 B、7 月 22 日 C、7 月 29 日 D、8 月 5 日
例5，5号是周五，画个日历表，数就完事了。注意是工作日和周一浇水。C
#星期日期问题
- 平年与闰年： 四年一闰，百年不闰，四百年再闰。
- $(year\% 4==0 \&\& year\% 100 !=0) || year\% 100 == 0$
- 大月与小月： 大月 31 天(1、3、5、7、8、10、12 月)；小月 30 天(4、6、9、11 月)
- 拳头凸起31天，否则30天
- 2 月
- 闰年：29 天 平年：28 天
- 每过一个平年（365÷7=52 余 1）星期几+1，每过一个闰年（366÷7=52 余 2） 星期几+2
- 星期日期推断：每连续 7 天一定包含一个完整的星期
题目：
小明、小红、小桃三人定期到某棋馆学围棋，小明每隔 3 天去一次， 小红每隔 4 天去一次，小桃每隔 5 天去一次。若 2016 年 2 月 10 日三人恰好在棋馆相遇，则下次三人在棋馆相遇的日期是 ：
A．2016 年 4 月 8 日 B．2016 年 4 月 11 日 C．2016 年 4 月 9 日 D．2016 年 4 月 10 日
例2，巩固上节例2，一个月一个来的计算
根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年 8 月份有 22 个工作日，那么当年的 8 月 1 日可能是：
A．周一或周三 B．周三或周日 C．周一或周四 D．周四或周日
例4，算前半部分，把后面变成几个完整的星期，推断前面；如1，2，3...4*7=28(4个星期工作日20天)。设一号是周四，则23为周五周六，设一号是周日，则23为周一周二。D，如果算8月29日，就将前面合并成完整的星期。
#比赛问题
- 淘汰赛： 每场比赛淘汰一队，每轮比赛淘汰一半的队伍（如果总数是奇数，例如 11 个队伍一轮淘汰 5 个队伍，一支队伍轮空，保留 6 个队伍）。
- 单循环赛，每支队伍都要和其他队伍进行一次比赛，N 支队伍的总场次是$C_{N}^{2}=\frac{N \times(N-1)}{2}$
- 双循环赛，每支队伍都要和其他队伍进行两场比赛（分主场和客场），N 支队伍的总场次是$A^2_N=N \times (N-1)$
- 答案小直接画图
题目：
某篮球比赛有 12 支球队报名参加，比赛的第一阶段中，12 支球队平均分成 2 个组进行单循环比赛，每组前 4 名进入第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛，直至决出冠军。问亚军参加的场次占整个赛事总场次的比重为：
A．10%以下 B．10%-15% C．15%-20% D．20%以上
例3，画图可知总共单循环30场，淘汰赛7场共37场，亚军单循环打5场，淘汰赛3场。选D
#统筹优化
枚举法、逻辑推断，最优方法
题目：
某餐厅要用三个炉灶做出 9 道菜肴，做完各道菜肴需要的时间分别是 1、2、3、4、4、5、5、6、7 分钟。每个炉灶在同一时间只能做一道菜肴。那么，最少经过（）分钟，该餐厅可以做完全部菜肴。
A.11 B.12 C.13 D.14
每个炉子平均放，1、①7、②6、③5；2、①4、②4、③5；3、①1、②2、③3，共13
#钟表问题
- 分针速度为 360°/60min=6°/min；时针的速度 30°/60min=0.5°/min
- 一整天分针走过 24 圈，时针走过 2 圈，多跑22圈，所以时针追上分针 22 次，时针和分针重合 22 次，垂直 44 次（每次重合前后都会呈现两次垂直）
- 给定任意时间求夹角，先考虑整点需要追击的角度，再计算追击距离-(分速-时速)*时间的绝对值
题目：
从钟表的 12 点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间约（ ）
A.43 分钟 B.45 分钟 C.49 分钟 D.61 分钟
例2，第一次垂直后，到重叠之间的距离为360-90=270，追击问题：$\frac{270}{6_{minute}-0.5_{hour}}=49$
张某下午六时多外出买菜，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为 110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是 110°。那么张某外出买菜用时：
A．20 分钟 B．30 分钟 C．40 分钟 D．50 分钟
眼睛就是尺，画钟表图，一个格子30°。追击$\frac{110+110}{6-0.5}=40$
#植树问题
- 单边线性植树：棵数＝总长÷间隔＋1，总长＝(棵数－1)×间隔；
- 单边环形植树：棵数＝总长÷间隔，总长＝棵数×间隔。
- 注意：区分题干中是在马路单边植树还是在马路双边植树。
- 将绳子截为 N 段，需要截（N-1）次，对折n次，有$2^n$个绳子，剪一刀$=2^n+1$
题目：
某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔 35 米的路灯一共有 21 盏， 现要将路灯的间隔缩短为 25 米，那么有（）盏路灯无需移动。
A.2 B.3 C.4 D.5
例一,算出总长为$35\times20=700m$，间隔的公倍数为175m，所以共0、175、350、525、700不动。D
#函数图问题
- $y=kx+b$
- $y=ax^2+bx+c$, $x=-\frac{b}{2a}$ <=> $a+b=10,ab=25$
题目：
某集团三个分公司共同举行技能大赛，其中成绩靠前的 X 人获奖。 如获奖人数最多的分公司获奖的人数为 Y，问以下哪个图形能反映 Y 的上、下 限分别与 X 的关系？
例2，用的排除法，就不放图了。直接解比较难。
#数列问题
- 平均数 公式：$\bar{a}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots \cdots+a_{n}}{n}$
- 等差数列
- 通项公式：$𝑎_𝑛 = 𝑎_1 + (𝑛 − 1)𝑑$
- 求和公式：和= $\frac{1}{2}$ ×（首项+末项）× 项数=平均数×项数=中位数×项数
- 项数公式：项数=（末项-首项）÷ 公差+1
- 加减可以用尾数法、乘除不建议
题目：
某成衣厂对 9 名缝纫工进行技术评比，9 名工人的得分正好成等差数列，9 人的平均得分是 86 分，前 5 名工人的得分之和是 460 分，那么前 7 名工人的得分之和是多少：
A、602 B、623 C、627 D、631
例4，平均分=中位数。前五名可知第三名$=\frac{460}{5}=92$，前9名可知第五名86，则第四名为89，则前7名为$89\times7=xx3$
#天平问题
23年浙江选调考到
天平问题，选最小（玄学）
N 次称量可以从 $3^N$个物品中，选出具有差异的瑕疵品。
题目：
体育彩票 22 选 5 使用的 22 个彩球除编号不同外，其余完全一样。 由于生产过程疏忽，22 个彩球中有一个球的重量略重于其它球。现需要天平将该球找出，那么，在最优方案下，最多要使用天平：
A.3 次 B.4 次 C.5 次 D.6 次
例3,选最小，或者直接解： $3^3=27 > 22$
#空瓶换酒
空瓶换酒 解题技巧：我们将“M 个空瓶换 1 瓶酒”，转化为“（M-1）个空瓶换 1 个（无瓶）酒”来完成答题，这样的题目我们默认是可以“借瓶再换瓶”的。
题目：
31 个小运动员在参加完比赛后，口渴难耐，去小店买饮料，饮料店搞促销，凭三个空瓶子可以再换一瓶，它们最少买多少瓶饮料才能保证一人一瓶？
A．21 B．23 C．25 D．27
例2，反面求，带答案。2空换一瓶。则A选项21瓶+21空（21/2=10瓶）=31人
#方阵问题
方阵问题 若正方形方阵边长为 N，长方形方阵边长分别为 M、N，则：
- 正方形实心方阵的总数为 $N^2$，长方形实心方阵的总数为 MN。
- 正方形方阵最外层数 4N-4，长方形方阵最外层数 2（M+N）- 4。 周长-4
- 方阵相邻两层人数相差 8 人。
题目：
有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有 68 人，中间一层共 44 人，则该方阵士兵的总人数是：
A、296 人 B、308 人 C、324 个 D、348 个
例3，中间 ，不是最内圈，等差数列差8。68 60 52 44 x x x可知$44\times7=308$
#拿牌问题
拿牌问题 第一次拿完牌后，要恰好凑成最大最小数之和的倍数。
题目： 一副扑克牌（共 54 张），甲乙两人轮流拿，每人每次只能拿 1、2、 3 或者 4 张，谁拿到最后一张谁赢。若甲先拿牌，则甲第一次应该拿多少张牌， 才能确保获胜？
A．1 B．2 C．3 D
例1，1+4=5，即剩下的牌是5的倍数就必赢，所以拿4张。
#数字推理
#数推
做题习惯：倍数>幂次>分数>做差>递推
一般来说，最后的规律至少需要三个数，并且呈规律，如1 2 1 理论来说是不行的 ，必须1 2 3\ 4 9 16...，所以反推可知则长度较小的数列，做一次差/和不行就换递推之类的
建议看视频，也挺短的（
不想写了，如果继续考公回来再写）#数列题型
- 做商数列
- 特征：明显的倍数关系，或者相邻两项做商结果可约分。
- 3 3 6 18 ()
- $\frac{3}{3}=1,\frac{6}{3}=2, \frac{18}{6}=3$
- 8 4 6 15 $52\frac{1}{2}$ ()
- $\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, \frac{15}{6}=\frac{5}{2},\frac{7}{2}$
- 做差数列
- 特征：数列无明显特征，呈递增/递减趋势，优先做差。
- 解法：多次做差，多级数列
- 12 16 22 30 39 49 ()
- 4 6 8 9 10 合数数列
- 4 1 0 2 10 29 66 ()
- -3 -1 2 8 19 37
- 2 3 6 11 18
- 1 3 5 7 等差数列
- 做和数列
- 特征：数列起伏不定；负数正数交替；正数突然有负数；做差没规律，用做和
- 做积数列
- 特征：数列中有分数：分子分母可以约分、数与分数可约分
- 分数数列
- 特征：数列中有分数
- 考点
- 交叉影响：寻找分子、分母规律
- 1/2 3/5 8/13 21/34 ()
- $\frac{1+2}{2+3},\frac{3+5}{5+8},\frac{8+13}{13+21}$
- 1/2 3/5 8/13 21/34 ()
- 反约分：观察数列整体趋势
- 5 3 7/3 2 9/5 5/3
- $\frac{5}{1},\frac{6}{2},\frac{7}{3},\frac{8}{4},...$
- 5 3 7/3 2 9/5 5/3
- 负幂次：分子为1，想到负幂次 $a^{-1}$
- 1 4 3 1 1/5 1/36
- $1^3,2^2,3^1,4^0,5^{-1}$
- 1 4 3 1 1/5 1/36
- 递推：相邻两项与第三项
- 1/2 1/6 1/3 2 6 3
- $\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}, \frac{1}{6}\times2=\frac{1}{3},...$
- 1/2 1/6 1/3 2 6 3
- 做差：难
- 0 1 3/2 11/6 25/12
- $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$
- 0 1 3/2 11/6 25/12
- 交叉影响：寻找分子、分母规律
- 递推数列
- 特征：没有明显规律且做差、做和没有规律
- 相邻三项（ABC）:
- $n(A \pm B)=C$
- $A \times B=nC$
- $A \times B+n=C$
- $A \div B=n C$
- $(A \pm B)^{2}=C$
- $\frac{A}{n} \pm B=C$
- $A^{2}+B=C$
- 相邻四项（ABCD）
- A+B+C=D；A-B-C=D
- 相邻两项
- nA+m=B
- A+B = D
- 幂次数列
- 特征：明显的幂次数字
- 从情况单一的数字入手（32， 64， 125）考虑125=$5^3$
- 难点：分子为1，想到幂次
- 1 4 3 1 1/5 1/36 ()
- $1^3,2^2,4^0,5^{-1},6^{-2}$
- 1 0 1 8 81 ()
- $-1^0,0^1,1^2,2^3,3^4$
- 幂次修正数列
- 特征：在幂次数字附近
- 3 65 35 513 99 ()
- $2^2-1, 4^3+1, 6^2-1, 8^3+1, 10^2-1$
- 质数、合数及其修正数列
- 质数数列：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43
- 合数数列：4 6 8 9 10 12 14 15 16
- 修正：质数合数附近
- 多重数列
- 特征：项数较多，一般8项以上
- 分组看、交叉看（奇偶）
#图推
三角形：
- 中间大考虑倍数关系
- 其次考虑加减关系
- 中间小考虑平方、乘法
- 大看公倍数，临近看加减，然后乘除
- 小看公约数 圆形：
- 对角线关系，最外圈全和关系，看公倍数
原型（四个数字）
- 先考虑除法，除完看加减
- 次考虑乘法，乘完看加减
- 后考虑加减
- 大月与小月： 大月 31 天(1、3、5、7、8、10、12 月)；小月 30 天(4、6、9、11 月)